Bac maths 2025 — Amérique du Nord jour 2

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0{,}32$.

Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

1. On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.

3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.

4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.

5. On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

   1. Exprimer $T$ en fonction de $N$.
   2. En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
   3. Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$.

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.

On note $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1\up{er},\, 2\up{e},\, \ldots, n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_{1},\, X_{2},\, \ldots,\, X_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.

On pose $\quad M_{n}=\dfrac{X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{n}}{n}$.

1. Dans cette question, on prend $n = 50$.

   1. Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?
   2. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.
   3. Démontrer que $P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$.
   4. En déduire que la probabilité de l'évènement « $19<M_{50}<25$ » est strictement supérieure à 0,85.

2. Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

   « Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0{,}01$ ».

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI$^{\text{e}}$ siècle.

On désigne par $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par :

$$u_{0}=2 \quad \text { et, pour tout entier naturel } n,\quad u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}$$

Partie A

1. 1. Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$.
   2. Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
2. 1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$.
   2. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
   3. Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $\sqrt{x} =x$.
   4. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

Partie B

On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(u_{n}\right)$.

1. 1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
   2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln (2)=2^{n} \ln \left(u_{n}\right)$.

2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction ln et la tangente T à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la droite T est $y = x - 1$.

   Les points $\mathrm{A}_{0}$, $\mathrm{A}_{1}$, $\mathrm{A}_{2}$ ont pour abscisses respectives $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$ et pour ordonnée 0.

On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln (x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0{,}99~;~1{,}01[$.

1. Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_{k}$ appartienne à l'intervalle $]0{,}99 ~;~1{,}01[$ et donner une valeur approchée de $u_{k}$ à $10^{-5}$ près.

2. En déduire une approximation de $\ln \left(u_{k}\right)$.

3. Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de $\ln (2)$.

4. On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.

   Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de $\ln (a)$.

   On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à $\sqrt{a}$.

   from math import*
   def Briggs(a):
   n = 0
   while a >= 1.01:
   a = sqrt(a)
   n = n+1
   L =…
   return L

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

PARTIE A

ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.

Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

Affirmation 1 : « $\overrightarrow{\,\mathstrut\text{JH}\,} = 2\overrightarrow{\,\mathstrut\text{BI}\,} + \overrightarrow{\,\mathstrut\text{DM}\,} - \overrightarrow{\,\mathstrut\text{CB}\,}$ »

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs $\left(\overrightarrow{\,\mathstrut\text{AB}\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\text{AH}\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\text{AG}\,}\right)$ est une base de l'espace. »

Affirmation 3 : « $\overrightarrow{\,\mathstrut\text{IB}\,} \cdot \overrightarrow{\,\mathstrut\text{LM}\,} = - \dfrac 14$. »

PARTIE B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

• le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$
• les points A$(2~;~0~;~-1)$ et B$(5~;~-3~;~7)$

Affirmation 4 : « Le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont parallèles. »

Affirmation 5 : « Le plan $\mathcal{P}'$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par B a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$ »

Affirmation 6 : « La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$. »

On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique

$$\left\{\begin{array}{lcl} x &=&-12 + 2k\\ y &=&6\\ z &=&3 - 5k \end{array}\right., \text{où}\, \:k \in \mathbb{R}$$

Affirmation 7 : « Les droites (AB) et $(d)$ ne sont pas coplanaires. »

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ par

$$f(x) = \text{e}^x \sin (x).$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

PARTIE A

1. 1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~\pi]$, 

      $$f'(x) = \text{e}^x[\sin(x) + \cos(x)].$$

   2. Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$

2. 1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
   2. Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
   3. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,  $\text{e}^x \sin (x) \geqslant x$.
3. Justifier que le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

PARTIE B

On note

$$I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x \sin (x)\, \text{d}x\quad \text{et}\quad J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x \cos (x)\, \text{d}x.$$

1. En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes :

   $$I= 1+J \qquad \text{et}\qquad I= \text{e}^{\frac{\pi}{2}} - J.$$

2. En déduire que $I = \dfrac{1 + \text{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.

3. On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x$.

   Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.

   Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$.