Bac maths 2025 — Amérique du Nord jour 2 (sujet de secours)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=x \text{e}^{-x}+2 x-1.$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f'$.

Partie A: Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$.

3. Montrer que pour tout réel $x$ :

   $$f''(x)= (x-2) \text{e}^{-x}$$

4. Étudier la convexité de la fonction $f$.

5. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum.

   Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

6. En déduire le signe de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

7. Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$.

   Donner un encadrement de $\alpha$, au centième près.

8. On considère la droite $\Delta$ d'équation $y=2 x-1$.

   Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.

Partie B : Calcul d'aire

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $D_{n}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$. On note

$$I_{n}=\int_{1}^{n} x \text{e}^{-x} \mathrm{~d} x$$

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_{n}$ en fonction de $n$.
2. 1. Justifier que l'aire du domaine $D_{n}$ est $I_{n}$.
   2. Calculer la limite de l'aire du domaine $D_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

$\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ est un repère de l'espace.

On considère la droite D qui a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&3 - t \\ y&=&-2 + 3t \\ z&=&1 + 4t\end{array},\, t \in \mathbb{R}\right.$ et le plan $P$ qui a pour équation cartésienne : $2x -3y + z - 6 = 0$.

1. Affirmation : La droite $\mathrm{D}'$, qui a pour représentation paramétrique

   $\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=4-6 t \\ z=9-8 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.$, est parallèle à la droite D.

2. On admet que les points A$(-2 ~;~ 3 ~;~ 1)$, B$(1~;~ 3 ~;~-4)$ et C$(6 ~;~ 3 ~;~ 9)$ ne sont pas alignés.

   Affirmation : La droite D est orthogonale au plan défini par les trois points A, B et C.

3. Affirmation : La droite D est sécante avec la droite $\Delta$ qui a pour représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&-4+2 t' \\ y&=&1-3 t' \\ z&=&2+t'\end{array} t' \in \mathbb{R}\right.$

4. Affirmation : Le point F$(-3~;~-3~;~3)$ est le projeté orthogonal du point E$(-5~;~0~;~2)$ sur le plan $P$.

5. Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P'$ d'équation $-3x + y - a^{2} z+3=0$ soit parallèle à la droite D.

Note du rédacteur « pour certaines questions, il est indispensable que le repère soit orthonormé. »

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2\,\%$ de la population d'un pays. Dans ce pays, $90\,\%$ de la population a été vaccinée contre ce virus.

On constate que $62\,\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.

On interroge au hasard une personne, et on note les évènements suivants :

• $C$ : « la personne a été contaminée »
• $V$ : « la personne a été vaccinée ».

Les évènements contraires des évènements $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$.

1. À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.
2. 1. Calculer $P(C \cap V)$.
   2. En déduire $P\left(\overline{C} \cap V\right)$.
3. Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.

4. Calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.

   1. « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »
   2. « Plus de 98 % de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »

6. On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population.

   La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.

   On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.

   On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est $p = 0{,}02$.

   1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.
   2. Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$$\left\{\begin{array}{l} u_{0}=0\\ u_{1}=\dfrac{1}{2}\\ u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_{n} \end{array}\right.$$

Partie A : Conjecture

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.

   $n$	0	1	2	3	4	5
   $u_{n}$ {18pt}	0	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{2}$

2. Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:

$$w_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{2} u_{n}$$

1. Calculer $w_{0}$.

2. Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.

4. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a :

   $$u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}$$

5. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n}=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.

Partie C : Étude de la suite $\left(u_{n}\right)$

1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.

2. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.

3. On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$.

   Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.