Bac maths 2024 — Amérique du Sud jour 1

PARTIE A

On considère l'équation différentielle

$$(E) : \quad y' +\dfrac14y = 20\text{\,e}^{-\frac14 x},$$

d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

1. Déterminer la valeur du réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = ax\text{\,e}^{-\frac14 x}$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

2. On considère l'équation différentielle

   $$(E') : \quad y' +\dfrac14 y = 0,$$

   d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

   Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E')$.

3. En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

4. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f(0) = 8$.

PARTIE B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par

$$f(x) = (20x + 8)\text{\,e}^{-\frac14 x}.$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. De plus, on admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.

1. 1. Justifier que, pour tout réel $x$ positif,

      $$f'(x) = (18 - 5x)\text{\,e}^{-\frac14 x}.$$

   2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

2. Dans cette question on s'intéresse à l'équation $f(x) = 8$.

   1. Justifier que l'équation $f(x) = 8$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle [14 ; 15].

   2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre, écrite en langage Python

      $a$	14
      $b$	15
      $b - a$	1
      $m$	14,5
      Condition $f(m) > 8$	FAUX

      from math import exp
      def f(x):
      return (20*x+8)exp(-1/4x)
      def solution_equation():
      a,b = 14,15
      while b-a > 0.1 :

      m = (a+b)/2
      if f(m) > 8:
      else:

      | | return a,b |

   3. Quel est l'objectif de la fonction solution_equation dans le contexte de la question ?

On dispose de deux urnes opaques U$_1$ et U$_2$.

L'urne U$_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.

L'urne U$_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.

On considère l'expérience aléatoire suivante :

On pioche au hasard une boule dans U$_1$ que l'on place dans U$_2$, puis on pioche au hasard une boule dans U$_2$.

On note:

• $N_1$ l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne U$_1$ ».
• $N_2$ l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ ».

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire.

PARTIE A

1. On considère l'arbre de probabilités ci-contre.

   1. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne U$_1$ est $0{,}2$.
   2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale.

2. Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_1$ et une boule noire dans l'urne U$_2$.

3. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ est égale à 0,28.

4. On a pioché une boule noire dans l'urne U$_2$

   Calculer la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne U$_1$ . On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.

PARTIE B

$n$ désigne un entier naturel non nul.

L'expérience aléatoire précédente est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, c'est-à-dire que les urnes U$_1$ et U$_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne U$_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne U$_2$, entre chaque expérience.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne U$_2$.

On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ est égale à 0,28 et celle de piocher une boule blanche dans l'urne U$_2$ est égale à 0,72.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.

2. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que:

   $$1 - 0{,}72^n \geqslant 0{,}9.$$

3. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.

PARTIE C

Dans cette partie les urnes U$_1$ et U$_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne U$_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne U$_2$.

On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante :

On pioche simultanément deux boules dans l'urne U$_1$ que l'on place dans l'urne U$_2$, puis on pioche au hasard une boule dans l'urne U$_2$.

1. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U$_1$ ?

2. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U$_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?

3. La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ avec cette nouvelle expérience est- elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne U$_2$ avec l'expérience de la partie A ? Justifier votre réponse.

   On pourra s'aider d'un arbre pondéré modélisant cette expérience.

Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse.

Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation.

Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par

   $$u_n = \dfrac{25 + (- 1)^n}{n}.$$

   Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ est divergente.

2. On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{lcl} w_0&=&1\\w_{n+1}&=&\dfrac{w_n}{1 + w_n} \end{array}\right.$

   On admet que pour tout entier naturel $n,\; w_n > 0$.

   On considère la suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n =\dfrac{k}{w_n}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.

   Affirmation 2 : La suite $(t_n)$ est une suite arithmétique strictement croissante.

3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{lcl}v_0&=&1\\ v_{n+1}&=&\ln \left(1 + v_n\right) \end{array}\right.$

   On admet que pour tout entier naturel $n,\, v_n > 0$.

   Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ est décroissante.

4. On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_1^{\text{e}} [\ln (x)]^n\,\text{d}x$.

   Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n,\, I_{n+1} = \text{\,e} - (n + 1) I_n$.

L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires.

Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace, $(d_1)$ et $(d_2)$ est la longueur du segment [EF], où E et F sont des points appartenant respectivement à $(d_1)$ et à $(d_2)$ tels que la droite (EF) est orthogonale à $(d_1)$ et $(d_2)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

Soit $(d_1)$ la droite passant par A$(1~;~2~;~-1)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{\,\mathstrut u_1\,}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $(d_2)$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{lcl} x&=&0\\y &=& 1 + t\\z &=& 2 + t\\ \end{array}\right.,\: t \in \mathbb{R}.$

1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(d_1)$

2. Démontrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont non coplanaires.

3. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par A et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{\,\mathstrut u_1\,}$ et $\overrightarrow{\,\mathstrut w\,}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\\end{pmatrix}$.

   Justifier qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $-2x +y +5z +5 = 0$.

4. 1. Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifier que la droite $(d_2)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants.

   2. On note F le point d'intersection de la droite $(d_2)$ et du plan $\mathcal{P}$.

      Vérifier que le point F a pour coordonnées $\left(0~;~- \dfrac53~;~- \dfrac23\right)$.

Soit $(\delta)$ la droite passant par F et de vecteur directeur $\overrightarrow{\,\mathstrut w\,}$. On admet que les droites $(\delta)$ et $(d_1)$ sont sécantes en un point E de coordonnées $\left( -\dfrac23~;~- \dfrac43~;~-1\right)$.

5. 1. Justifier que la distance EF est la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
   2. Calculer la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.