Bac maths 2025 — Amérique du Sud jour 2

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.

Abel est au service.

On considère les évènements suivants:

• $S$ : « Abel réussit son premier service »
• $G$ : « Abel gagne le point ».

1. Décrire l'évènement $S$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer $P(S \cap G)$.
3. Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0{,}695$.
4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
5. Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

1. On teste successivement $20$ balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées.

   1. Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.
   2. Calculer $P(X \leqslant 18)$.
   3. Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les $20$ balles testées ?
   4. Déterminer l'espérance de $X$.

2. On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}85$.

   On considère la variable aléatoire

   $$M_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n}$$
   1. Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.
   2. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$,  $P(0{,}75 < M_n < 0{,}95) \geqslant 1 - \dfrac{12{,}75}{n}$.
   3. En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle ]0,75 ; 0,95 [ avec une probabilité supérieure à $0{,}9$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

Dans toutes les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

1. On considère la droite $\Delta_1$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 1 - 3t\\ y &=& 4 + 2t\\ z &=&t \end{array}\right.$, où $t \in \mathbb{R}$ ainsi que la droite $\Delta_2$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x& =& -4 + s\\ y& =& 2 + 2s\\ z& =& - 1 + s \end{array}\right.$, où $s \in \mathbb{R}$.

   1. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles.
   2. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales.
   3. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont sécantes.

2. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&1 + t\\ y &=& 3 - t\\ z &=& 1 + 2t \end{array}\right.$, où $t \in R$, et le plan $P$ d'équation cartésienne : $4x + 2y - z + 3 = 0.$

   1. La droite $d$ est incluse dans le plan $P$.
   2. La droite $d$ est parallèle strictement au plan $P$.
   3. La droite $d$ est sécante au plan $P$.

3. On considère les points A(3 ; 2 ; 1), B(7 ; 3 ; 1), C$(-1~;~4~;~5)$ et D$(- 3~;~3~;~5)$.

   1. Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
   2. Les points A, B et C sont alignés.
   3. $\overrightarrow{\,\mathstrut\text{AB}\,}$ et $\overrightarrow{\,\mathstrut\text{CD}\,}$ sont colinéaires.

4. On considère les plans $Q$ et $Q'$ d'équation cartésienne respective $3x - 2y + z + 1 = 0$ et $4x + y - z + 3 = 0$.

   1. Le point R$(1~;~1~;~-2)$ appartient aux deux plans.
   2. Les deux plans sont orthogonaux.
   3. Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x&=& t\\ y& =& 7t + 4 \\ z& =& 11t + 7 \end{array}\right.$, où $t \in \mathbb{R}$.

On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

$$\left\{\begin{array}{lcl} v_0 &=& \ln (4)\\ v_{n+1} &=& \ln \left(- 1 +2\text{e}^{v_n}\right) \end{array}\right. \qquad \text{et} \qquad w_n = - 1 + \text{e}^{v_n}.$$

On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive.

1. Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$.

2. 1. Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ est reproduite ci-contre.

      Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite $(v_n)$ dans la colonne B.

      Formule 1	LN($-1 + 2$ * EXP(B2))
      Formule 2	= LN($-1 + 2$ * EXP(B2))
      Formule 3	= LN($-1 + 2$ * EXP(A2))

   2. Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$.

   3. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_n)$.

3. 1. Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique.
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n, \: v_n = \ln \left(1 + 3 \times 2^n\right)$.
   3. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

4. Justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.

   from math import*
   def seuil(S):
   V=ln(4)
   n=0
   while V < S :
   n=n+1
   V=ln(2*exp(V)-1)
   return(n)

Partie A : dénombrement

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre $- 30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : {$- 30~;~- 29~;~- 28~;~ ... - 1~;~1~;~ ... ~;~ 28~;~29~;~30$}. Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$.

1. Combien de couples $(a~;~ c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?

On considère l'évènement $M$ : « l'équation $ax^2 + 2x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes », où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis.

2. Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $ac < 1$.
3. Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline{M}$ comporte $1\,740$ issues.
4. Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

Partie B : équation différentielle

On considère l'équation différentielle

$(E) :\quad y' + 10y = \left(30x^2 + 22x - 8\right)\text{e}^{-5x+1}$ avec $x \in \mathbb{R}$

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle : $y' + 10y = 0$.

2. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

   $$f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\text{e}^{-5x+ 1}.$$

   On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

   Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$.

3. Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$.

Partie C : étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la partie B question 2.

On rappelle que, pour tout réel $x\:, f(x) = \left(6x^2 + 2x - 2\right)\text{e}^{-5x+ 1}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

1. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

   Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$

2. En utilisant la partie A, montrer que $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).

3. En utilisant les parties A et B, montrer que $\mathcal{C}_f$ possède deux tangentes horizontales.

4. Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$.

5. Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l'équation $f(x)= 1$.

6. Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0{,}2$, on définit $I_m$ par $I_m = \displaystyle\int_{0{,}2}^m f(x)\:\text{d}x$.

   1. Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par

      $$F(x) = \left(-\dfrac65 x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)\text{e}^{-5x+ 1}$$

      est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

   2. Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_m = 0$ ?

      Interpréter graphiquement ce résultat.