Bac maths 2022 — Polynésie jour 1

Parmi les angines, un quart nécessite la prise d'antibiotiques, les autres non.

Afin d'éviter de prescrire inutilement des antibiotiques, les médecins disposent d'un test de diagnostic ayant les caractéristiques suivantes :

• $\bullet~~$ lorsque l'angine nécessite la prise d'antibiotiques, le test est positif dans 90 % des cas;
• $\bullet~~$ lorsque l'angine ne nécessite pas la prise d'antibiotiques, le test est négatif dans 95 % des cas.

Les probabilités demandées dans la suite de l'exercice seront arrondies à $10^{-4}$ près si nécessaire.

Partie 1

Un patient atteint d'angine et ayant subi le test est choisi au hasard.

On considère les évènements suivants :

• $\bullet~~$ $A$ : « le patient est atteint d'une angine nécessitant la prise d'antibiotiques » ;
• $\bullet~~$ $T$ : « le test est positif » ;
• $\bullet~~$ $\overline{A}$ et $\overline{T}$ sont respectivement les évènements contraires de $A$ et $T$.

1. Calculer $P(A \cap T)$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
2. Démontrer que $P(T) = 0{,}2625$.
3. On choisit un patient ayant un test positif. Calculer la probabilité qu'il soit atteint d'une angine nécessitant la prise d'antibiotiques.

4. 1. Parmi les évènements suivants, déterminer ceux qui correspondent à un résultat erroné du test : $A \cap T,\: \overline{A} \cap T,\:A \cap \overline{T},\: \overline{A} \cap \overline{T}$.

   2. On définit l'évènement $E$ : « le test fournit un résultat erroné ».

      Démontrer que $p(E) = 0{,}0625$.

Partie 2

On sélectionne au hasard un échantillon de $n$ patients qui ont été testés.

On admet que l'on peut assimiler ce choix d'échantillon à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de patients de cet échantillon ayant un test erroné.

1. On suppose que $n = 50$.

   1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,\: p)$ de paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}0625.$
   2. Calculer $P(X = 7)$.
   3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un patient dans l'échantillon dont le test est erroné.

2. Quelle valeur minimale de la taille de l'échantillon faut-il choisir pour que $P(X \geqslant 10)$ soit supérieure à $0{,}95$ ?

Soit $k$ un nombre réel.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1} = ku_n\left(1- u_n\right).$$

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de $k$.

Partie 1

Dans cette partie, $k = 1{,}9$ et $u_0 = 0{,}1$.

On a donc, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1} = 1{,}9u_n\left(1 - u_n\right)$.

1. On considère la fonction $f$ définie sur [0 ; 1] par $f(x) = 1{,}9x(1 - x)$.

   1. Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 1].
   2. En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.

2. Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ construits à partir de la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et de la droite $D$ d'équation $y = x$.

   Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ et sa limite éventuelle.

3. 1. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

      $$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac12.$$

   2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

   3. Déterminer sa limite.

Partie 2

Dans cette partie, $k= \dfrac12$ et $u_0 = \dfrac14$.

On a donc, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1} = \dfrac12 u_n \left(1 - u_n\right)$ et $u_0 = \dfrac14$.

On admet que pour tout entier naturel $n$ :  $0 \leqslant u_n \leqslant \left(\dfrac12\right)^n$.

1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.

2. On considère la fonction Python algo (p) où p désigne un entier naturel non nul:

   def algo(p) :
   u =1/4
   n = 0
   while u > 10**(-p):
   u = 1/2*u*(1 - u)
   n = n+1
   return(n)

   Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul p, la boucle while ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande algo (p) de renvoyer une valeur.

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par:

$$g(x) = \dfrac{2 \ln x}{ x}.$$

1. On note $g'$ la dérivée de $g$. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif :

   $$g'(x) = \dfrac{2 - 2\ln x}{x^2}.$$

2. On dispose de ce tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ :

Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau:

1. la valeur $\dfrac{2}{\text{e}}$ ;
2. les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition ;
3. les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
4. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

$$f(x) = [\ln (x)]^2.$$

Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

1. Démontrer que sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$.

2. À l'aide de la partie 1, étudier :

   1. la convexité de la fonction $f$ ;
   2. les variations de la fonction $f$.

3. 1. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse e.

   2. En déduire que, pour tout réel $x$ dans $]0~;~\text{e}]$ :

      $$[\ln (x)]^2 \geqslant \dfrac{2}{\text{e}}x - 1.$$

On considère le cube ABCDEFGH.

On note I le milieu du segment[EH] et on considère le triangle CFI.

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\,\mathstrut\text{AB}\,},\: \overrightarrow{\,\mathstrut\text{AD}\,},\: \overrightarrow{\,\mathstrut\text{AE}\,}\right)$ et on admet que le point I a pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac12;~1\right)$ dans ce repère.

1. 1. Donner sans justifier les coordonnées des points C, F et G.
   2. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{\,\mathstrut n\,}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan (CFI).
   3. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (CFI) est : $x + 2y + 2z - 3 = 0$.

2. On note $d$ la droite passant par G et orthogonale au plan (CFI).

   1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
   2. Démontrer que le point K$\left(\dfrac79~;~\dfrac59~;~\dfrac59\right)$ est le projeté orthogonal du point G sur le plan (CFI).
   3. Déduire des questions précédentes que la distance du point G au plan (CFI) est égale à $\dfrac23$.

3. On considère la pyramide GCFI.

   On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule

   $$V = \frac13 \times b \times h,$$

   où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

   1. Démontrer que le volume de la pyramide GCFI est égal à $\dfrac16$, exprimé en unité de volume.
   2. En déduire l'aire du triangle CFI, en unité d'aire.