Chapitres de Terminale

Vocabulaire ensembliste et logique

1
Exercice 1
Facile
On considère les ensembles $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{2, 4, 6, 8\}$ et l'ensemble de référence $E = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ .
1. Déterminer $A \cap B$ et $A \cup B$ .
2. Déterminer le complémentaire $\overline{A}$ de $A$ dans $E$ .
3. Compléter par $\in$ ou $\notin$ : $3 \ \ldots\ A$ \quad ; \quad $6 \ \ldots\ A$ \quad ; \quad $8 \ \ldots\ B$ .
4. Est-il vrai que $\{2, 4\} \subset A$ ? Justifier.
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L'intersection est l'ensemble des éléments communs ; la réunion regroupe tous les éléments ; le complémentaire de $A$ dans $E$ contient les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ .
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1. Les éléments communs : $A \cap B = \{2, 4\}$ . La réunion : $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8\}$ .
2. $\overline{A} = E \setminus A = \{6, 7, 8\}$ .
3. $3 \in A$ \quad ; \quad $6 \notin A$ \quad ; \quad $8 \in B$ .
4. Oui : $2 \in A$ et $4 \in A$ , donc tout élément de $\{2,4\}$ appartient à $A$ , ce qui signifie $\{2,4\} \subset A$ .
2
Exercice 2
Facile
Soit la proposition $P$ : \guillemotleft\ Pour tout réel $x$ , $x^2 \geq 0$ . \guillemotright
1. Écrire $P$ à l'aide du quantificateur $\forall$ .
2. Écrire la négation de $P$ à l'aide d'un quantificateur.
3. La proposition $P$ est-elle vraie ? Sa négation est-elle vraie ?
4. Écrire avec des quantificateurs la proposition \guillemotleft\ Il existe un réel dont le carré vaut $2$ \guillemotright, et dire si elle est vraie.
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La négation de \guillemotleft\ $\forall x, \ Q(x)$ \guillemotright\ est \guillemotleft\ $\exists x, \ \text{non } Q(x)$ \guillemotright.
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1. $P : \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0$ .
2. Négation : $\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0$ .
3. $P$ est vraie (un carré est toujours positif ou nul). Sa négation est donc fausse.
4. $\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 = 2$ . Elle est vraie : $x = \sqrt{2}$ (ou $-\sqrt{2}$ ) convient.
3
Exercice 3
Facile
On donne les intervalles $I = [-2\,;3]$ et $J = \left]1\,;5\right]$ .
1. Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ .
2. Déterminer le complémentaire de $I$ dans $\mathbb{R}$ .
3. Traduire l'appartenance $x \in I \cap J$ par un encadrement de $x$ .
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L'intersection de deux intervalles est constituée des réels appartenant aux deux à la fois. Attention aux crochets ouverts/fermés.
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1. $I \cap J = \left]1\,;3\right]$ (réels à la fois dans $[-2\,;3]$ et dans $]1\,;5]$ ). $I \cup J = [-2\,;5]$ .
2. $\overline{I} = \left]-\infty\,;-2\right[ \cup \left]3\,;+\infty\right[$ .
3. $x \in I \cap J \iff 1 < x \leq 3$ .
4
Exercice 4
Facile
Soient les fonctions $f : x \mapsto 2x + 1$ et $g : x \mapsto x^2$ définies sur $\mathbb{R}$ .
1. Calculer $(g \circ f)(x)$ et $(f \circ g)(x)$ .
2. A-t-on $g \circ f = f \circ g$ ? Justifier.
3. Calculer $(g \circ f)(1)$ .
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Par définition $(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)$ : on applique d'abord $f$ , puis $g$ .
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1. $(g \circ f)(x) = g(2x+1) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ . $(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$ .
2. Non : par exemple pour $x=1$ , $(g\circ f)(1) = 9$ et $(f\circ g)(1) = 3$ . Un contre-exemple suffit à montrer que $g \circ f \neq f \circ g$ (la composition n'est pas commutative).
3. $(g \circ f)(1) = (2\times 1 + 1)^2 = 3^2 = 9$ .
5
Réciproque et contraposée
Moyen
On considère la proposition, pour un entier naturel $n$ : \guillemotleft\ Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair. \guillemotright
1. Énoncer la réciproque de cette implication. Est-elle vraie ?
2. Énoncer la contraposée. Est-elle équivalente à la proposition de départ ?
3. Démontrer la proposition de départ.
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La contraposée de \guillemotleft\ $A \Rightarrow B$ \guillemotright\ est \guillemotleft\ non $B \Rightarrow$ non $A$ \guillemotright, et lui est toujours équivalente. Un entier pair s'écrit $n = 2k$ .
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6
Récurrence sur une somme d'entiers
Moyen
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geq 1$ ,
$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.$
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Vérifier l'initialisation pour $n=1$ , supposer la propriété vraie au rang $n$ (hypothèse de récurrence) puis la démontrer au rang $n+1$ en ajoutant $n+1$ .
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7
Condition nécessaire et suffisante
Moyen
Soit $x$ un réel. On étudie la proposition : \guillemotleft\ $x^2 = 4$ \guillemotright.
1. La proposition \guillemotleft\ $x = 2$ \guillemotright\ est-elle une condition nécessaire de \guillemotleft\ $x^2 = 4$ \guillemotright ? une condition suffisante ? Justifier.
2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante, portant sur $x$ , pour que $x^2 = 4$ .
3. Résoudre par disjonction des cas l'équation $|x| = 2$ .
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\guillemotleft\ $A$ suffisante pour $B$ \guillemotright\ signifie $A \Rightarrow B$ ; \guillemotleft\ $A$ nécessaire pour $B$ \guillemotright\ signifie $B \Rightarrow A$ .
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8
Exercice 8
Difficile
On veut démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel, c'est-à-dire que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .
1. On raisonne par l'absurde : on suppose que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers naturels non nuls, la fraction étant irréductible. Montrer qu'alors $p^2 = 2q^2$ .
2. En déduire que $p$ est pair, puis que $q$ est pair.
3. Conclure sur l'absurdité et donc sur la nature de $\sqrt{2}$ .
On rappelle : un entier dont le carré est pair est lui-même pair.
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9
Exercice 9
Difficile
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 3x - 5$ .
1. Montrer que $f$ est injective : $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, \ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$ .
2. Montrer que $f$ est surjective : $\forall y \in \mathbb{R}, \ \exists x \in \mathbb{R}, \ f(x) = y$ .
3. En déduire que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa réciproque $f^{-1}$ .
4. Vérifier que $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ .
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Vocabulaire ensembliste et logique

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Réciproque et contraposée

Récurrence sur une somme d'entiers

Condition nécessaire et suffisante

Exercice 8

Exercice 9