Chapitres de Terminale

Combinatoire et dénombrement

1
Exercice 1
Facile
Un restaurant propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Un menu est composé d'une entrée, d'un plat et d'un dessert.
1. Combien de menus différents peut-on composer ?
2. Un client décide de ne pas prendre d'entrée. Combien de menus « plat + dessert » peut-il composer ?
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Utilise le principe multiplicatif : le nombre de choix successifs indépendants se multiplie.
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1. D'après le principe multiplicatif, le nombre de menus est le produit du nombre de choix pour chaque composante : $3 \times 4 \times 2 = 24.$ Il y a donc $24$ menus différents.
2. Le client choisit un plat parmi $4$ et un dessert parmi $2$ , soit $4 \times 2 = 8$ menus possibles.
2
Exercice 2
Facile
On considère l'ensemble $E = \{a, b, c, d\}$ .
1. Combien de sous-ensembles (parties) l'ensemble $E$ possède-t-il ?
2. Combien de ces parties possèdent exactement $2$ éléments ? Donne-les explicitement.
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Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est $2^n$ . Pour les parties à $2$ éléments, pense aux combinaisons $\binom{n}{2}$ .
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1. L'ensemble $E$ a $n = 4$ éléments. Le nombre de parties est $2^4 = 16.$
2. Le nombre de parties à $2$ éléments est $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = \frac{24}{2 \times 2} = 6.$ Ces parties sont : $\{a,b\}$ , $\{a,c\}$ , $\{a,d\}$ , $\{b,c\}$ , $\{b,d\}$ , $\{c,d\}$ .
3
Exercice 3
Facile
Un code d'accès est formé de $4$ chiffres choisis parmi $0,1,\dots,9$ .
1. Combien de codes existe-t-il si les chiffres peuvent se répéter ?
2. Combien de codes existe-t-il si les $4$ chiffres doivent être tous distincts ?
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Au (1) chaque position offre $10$ possibilités (k-uplet quelconque). Au (2) les chiffres sont distincts : c'est un arrangement, le nombre de possibilités décroît à chaque position.
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1. Chaque chiffre est choisi indépendamment parmi $10$ . Il s'agit d'un $4$ -uplet d'un ensemble à $10$ éléments : $10^4 = 10\,000.$
2. On choisit un $4$ -uplet d'éléments distincts. Le premier chiffre a $10$ possibilités, le deuxième $9$ , le troisième $8$ , le quatrième $7$ : $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040.$
4
Exercice 4
Facile
1. Calcule $\binom{6}{2}$ et $\binom{6}{4}$ . Que remarques-tu ?
2. Vérifie la relation de Pascal : $\binom{5}{2} + \binom{5}{3} = \binom{6}{3}$ .
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Utilise la formule $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ et la symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .
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1. On calcule : $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!\,4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15, \qquad \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!\,2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15.$ On remarque que $\binom{6}{2} = \binom{6}{4}$ : c'est la propriété de symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (ici $4 = 6-2$ ).
2. On calcule chaque terme : $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10, \qquad \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!\,2!} = \frac{5\times 4}{2} = 10,$ $\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!\,3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{6} = 20.$ On a bien $10 + 10 = 20$ , donc $\binom{5}{2} + \binom{5}{3} = \binom{6}{3}$ .
5
Tirages sans remise de boules
Moyen
Un sac contient $10$ boules numérotées de $1$ à $10$ . On tire successivement et sans remise $3$ boules.
1. Combien de tirages ordonnés différents peut-on obtenir ?
2. On ne tient plus compte de l'ordre des boules tirées. Combien de résultats différents (poignées de $3$ boules) obtient-on ?
3. Combien de ces poignées de $3$ boules contiennent la boule numéro $1$ ?
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Tirage ordonné sans remise : arrangement. Sans ordre : combinaison $\binom{10}{3}$ . Au (3), fixe la boule $1$ et complète avec $2$ autres boules.
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6
Choix de délégués dans une classe
Moyen
Une classe compte $18$ filles et $12$ garçons, soit $30$ élèves. On souhaite former un groupe de $5$ délégués.
1. Combien de groupes de $5$ délégués peut-on former ?
2. Combien de groupes comptent exactement $3$ filles et $2$ garçons ?
3. Combien de groupes comptent au moins un garçon ?
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Un groupe est une combinaison (l'ordre n'importe pas). Pour « au moins un garçon », passe par l'événement contraire : « aucun garçon ».
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7
Triangle de Pascal et binôme
Moyen
On développe $(a+b)^n$ à l'aide du triangle de Pascal.
1. Recopie et complète les lignes du triangle de Pascal jusqu'à $n = 5$ .
2. En déduire le développement de $(a+b)^5$ .
3. Utilise ce développement pour justifier que $\displaystyle \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} = 32$ .
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Chaque coefficient du triangle est la somme des deux coefficients situés au-dessus (relation de Pascal). Pour le (3), choisis des valeurs bien commodes de $a$ et $b$ .
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8
Exercice 8
Difficile
On souhaite démontrer la relation, pour tous entiers $n$ et $k$ avec $1 \le k \le n$ :
$k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}.$
1. Démontre cette égalité en utilisant la formule factorielle des combinaisons.
2. En déduire la valeur de $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k}$ en fonction de $n$ .
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9
Exercice 9
Difficile
On s'intéresse aux combinaisons avec répétition. On rappelle que le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ types, en autorisant les répétitions et sans tenir compte de l'ordre, est
$\Gamma_n^k = \binom{n+k-1}{k}.$
Une boulangerie propose $4$ sortes de croissants. Un client achète $6$ croissants.
1. Combien d'assortiments différents de $6$ croissants peut-il obtenir ?
2. On modélise un tel achat par une suite de « barres » et « étoiles ». Explique brièvement pourquoi la formule ci-dessus donne le bon résultat.
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Combinatoire et dénombrement

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Tirages sans remise de boules

Choix de délégués dans une classe

Triangle de Pascal et binôme

Exercice 8

Exercice 9