Chapitres de Terminale

Algorithmique et programmation

1
Exercice 1
Facile
On considère le programme Python suivant :
```
L = [3, 8, 1, 6, 4]
s = 0
for x in L:
    s = s + x
print(s / len(L))
```
1. Quelle valeur affiche ce programme ?
2. Que représente cette valeur pour la liste L ?
3. Modifier ce programme pour qu'il affiche la valeur maximale de la liste sans utiliser la fonction max.
Voir un indice
La boucle for x in L parcourt les éléments de la liste. Pour le maximum, initialise une variable avec le premier élément puis compare.
Voir la correction
1. La somme des éléments est $3+8+1+6+4 = 22$ . La liste contient $5$ éléments, donc le programme affiche $22/5 = 4.4$ .
2. C'est la moyenne des éléments de la liste.
3. Un programme possible :
```
L = [3, 8, 1, 6, 4]
m = L[0]
for x in L:
    if x > m:
        m = x
print(m)
```
Ce programme affiche $8$ .
2
Exercice 2
Facile
Soit la liste définie en compréhension : L = [k*k for k in range(1, 7)].
1. Écrire cette liste en extension (donner tous ses éléments).
2. Écrire, en extension, la liste M = [2*k+1 for k in range(5)].
3. Écrire en compréhension la liste des cubes des entiers de $1$ à $5$ .
Voir un indice
range(1, 7) produit les entiers $1, 2, 3, 4, 5, 6$ (la borne de droite est exclue). range(5) produit $0, 1, 2, 3, 4$ .
Voir la correction
1. range(1, 7) donne $k \in \{1,2,3,4,5,6\}$ , donc les carrés : $`L` = [1, 4, 9, 16, 25, 36]$ .
2. range(5) donne $k \in \{0,1,2,3,4\}$ , donc $2k+1$ : $`M` = [1, 3, 5, 7, 9]$ .
3. [k**3 for k in range(1, 6)], qui vaut $[1, 8, 27, 64, 125]$ .
3
Exercice 3
Facile
On dispose d'une liste notes contenant les notes d'une classe.
1. Écrire une instruction qui ajoute la note $15$ à la fin de la liste.
2. Écrire une instruction qui supprime le premier élément de la liste.
3. Écrire une fonction compte\_reussite(notes) qui renvoie le nombre de notes supérieures ou égales à $10$ .
Voir un indice
On ajoute avec .append(...) et on supprime avec del ou .pop(...). Pour compter, on utilise un compteur initialisé à $0$ .
Voir la correction
1. notes.append(15).
2. del notes[0] (ou notes.pop(0)).
3. Une fonction possible :
```
def compte_reussite(notes):
    c = 0
    for note in notes:
        if note >= 10:
            c = c + 1
    return c
```
La variable c compte les notes supérieures ou égales à $10$ .
4
Exercice 4
Facile
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 0{,}5\, u_n + 3$ .
1. Calculer $u_1$ et $u_2$ .
2. On souhaite déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 5{,}9$ . Écrire une fonction Python seuil() qui renvoie cet entier.
Voir un indice
On calcule les termes successifs dans une boucle while tant que la condition n'est pas atteinte, en incrémentant un compteur.
Voir la correction
1. $u_1 = 0{,}5 \times 5 + 3 = 5{,}5$ et $u_2 = 0{,}5 \times 5{,}5 + 3 = 5{,}75$ .
2. La suite converge vers $6$ (point fixe de $x \mapsto 0{,}5x+3$ ) en croissant, donc le seuil existe. Programme :
```
def seuil():
    u = 5
    n = 0
    while u <= 5.9:
        u = 0.5 * u + 3
        n = n + 1
    return n
```
On calcule : $u_3 = 5{,}875$ , $u_4 = 5{,}9375 > 5{,}9$ . La fonction renvoie $\boxed{4}$ .
5
Méthode de Héron pour $\sqrt{2}$
Moyen
On veut approcher $\sqrt{2}$ par la méthode de Héron : on définit la suite $x_0 = 2$ et
$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left( x_n + \frac{2}{x_n} \right).$
1. Calculer $x_1$ et $x_2$ (valeurs exactes).
2. Compléter la fonction Python ci-dessous pour qu'elle renvoie une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-6}$ près :
```
def heron():
    x = 2
    while abs(x*x - 2) > ...... :
        x = ......
    return x
```
Voir un indice
La condition d'arrêt teste si $x^2$ est assez proche de $2$ . Le pas de la boucle applique la formule de récurrence.
Voir la correction
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6
Résolution par dichotomie
Moyen
On cherche une solution de l'équation $f(x) = 0$ avec $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0\,;1]$ par dichotomie. On admet que $f$ est continue et strictement croissante, avec $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ .
1. Justifier que l'équation admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$ .
2. On donne le programme suivant :
```
def f(x):
    return x**3 + x - 1

def dicho(n):
    a = 0
    b = 1
    for i in range(n):
        m = (a + b) / 2
        if f(m) < 0:
            a = m
        else:
            b = m
    return (a + b) / 2
```
Effectuer les deux premières itérations (donner $a$ et $b$ après chaque tour).
1. Après $n$ itérations, quelle est la précision (largeur de l'intervalle) obtenue sur $\alpha$ ?
Voir un indice
À chaque étape on garde la moitié de l'intervalle où $f$ change de signe. La largeur est divisée par $2$ à chaque tour.
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7
Simulation du lancer de deux dés
Moyen
On simule le lancer de deux dés équilibrés à six faces et on s'intéresse à la somme obtenue. On donne :
```
from random import randint

def simulation(N):
    L = []
    for i in range(N):
        d1 = randint(1, 6)
        d2 = randint(1, 6)
        L.append(d1 + d2)
    freq = 0
    for s in L:
        if s == 7:
            freq = freq + 1
    return freq / N
```
1. Que renvoie la fonction simulation(N) ?
2. Calculer la probabilité théorique d'obtenir une somme égale à $7$ .
3. Vers quelle valeur la quantité renvoyée doit-elle se rapprocher lorsque $N$ devient grand ? Quel résultat de probabilité le justifie ?
Voir un indice
randint(1, 6) renvoie un entier entre $1$ et $6$ inclus. Dénombre les couples $(d_1, d_2)$ dont la somme vaut $7$ parmi les $36$ possibles.
Voir la correction
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8
Exercice 8
Difficile
On calcule les coefficients binomiaux à l'aide du triangle de Pascal, fondé sur la relation
$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.$
On propose la fonction suivante qui construit la ligne $n$ du triangle sous forme de liste :
```
def ligne_pascal(n):
    L = [1]
    for k in range(n):
        L.append(1)
        for i in range(len(L) - 2, 0, -1):
            L[i] = L[i] + L[i-1]
    return L
```
1. Exécuter ligne\_pascal(4) à la main et donner la liste obtenue.
2. Expliquer pourquoi la boucle interne parcourt les indices en sens décroissant (de la droite vers la gauche).
3. En déduire la valeur de $\binom{4}{2}$ .
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9
Exercice 9
Difficile
On estime $\pi$ par la méthode de Monte-Carlo. On tire des points au hasard dans le carré $[0\,;1]^2$ et on compte ceux qui tombent dans le quart de disque de centre $O$ et de rayon $1$ .
```
from random import random

def monte_carlo(N):
    dedans = 0
    for i in range(N):
        x = random()
        y = random()
        if x*x + y*y <= 1:
            dedans = dedans + 1
    return 4 * dedans / N
```
1. La fonction random() renvoie un réel de $[0\,;1[$ . Justifier la présence du facteur $4$ .
2. Un point $(x,y)$ tiré dans le carré tombe dans le quart de disque avec une certaine probabilité $p$ . Calculer $p$ .
3. Expliquer pourquoi monte\_carlo(N) fournit une estimation de $\pi$ , et indiquer comment améliorer la précision.
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Algorithmique et programmation

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Méthode de Héron pour 2\sqrt{2}2​

Résolution par dichotomie

Simulation du lancer de deux dés

Exercice 8

Exercice 9

Méthode de Héron pour $\sqrt{2}$