Croisement de deux variables qualitatives

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On interroge $100$ élèves sur la pratique d'un sport en club. Voici le tableau croisé des effectifs :

   	Sport : Oui	Sport : Non	Total
   Filles	$30$	$20$	$50$
   Garçons	$40$	$10$	$50$
   Total	$70$	$30$	$100$

   1. Combien d'élèves pratiquent un sport en club ?
   2. Calculer la fréquence marginale des filles.
   3. Calculer la fréquence marginale des élèves qui pratiquent un sport.
   Voir un indice

   Une fréquence marginale se calcule à partir d'un total (de ligne ou de colonne) divisé par l'effectif total.

   Voir la correction

   1. Total de la colonne « Oui » : $70$ élèves pratiquent un sport.
   2. Fréquence marginale des filles : $\dfrac{50}{100} = 0{,}5 = 50\,\%$.
   3. Fréquence marginale des sportifs : $\dfrac{70}{100} = 0{,}7 = 70\,\%$.
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On reprend le tableau de l'exercice précédent (mêmes effectifs).

   1. Parmi les garçons, quelle est la fréquence de ceux qui pratiquent un sport ? (fréquence conditionnelle)
   2. Parmi les élèves qui ne pratiquent pas de sport, quelle est la fréquence des filles ?
   3. Ces deux fréquences ont-elles le même ensemble de référence ?
   Voir un indice

   Une fréquence conditionnelle « parmi les A, proportion de B » se calcule en divisant l'effectif des « A et B » par l'effectif total des A.

   Voir la correction

   1. Parmi les $50$ garçons, $40$ font du sport : $\dfrac{40}{50} = 0{,}8 = 80\,\%$.
   2. Parmi les $30$ élèves sans sport, $20$ sont des filles : $\dfrac{20}{30} \approx 0{,}667 \approx 66{,}7\,\%$.
   3. Non : la première fréquence a pour ensemble de référence les garçons ($50$ élèves), la seconde les non-sportifs ($30$ élèves). Ce sont des fréquences conditionnelles de conditions différentes.
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Compléter le tableau croisé suivant, dans lequel on a croisé la boisson choisie (Café / Thé) et l'âge (Jeunes / Adultes) de $100$ clients :

   	Café	Thé	Total
   Jeunes	$32$	\	$50$
   Adultes	\	\	\
   Total	$60$	$40$	$100$

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   Chaque total de ligne est la somme de sa ligne ; chaque total de colonne est la somme de sa colonne. On remplit les cases une à une en soustrayant.

   Voir la correction

   • Jeunes / Thé : $50 - 32 = 18$.
   • Adultes / Café : $60 - 32 = 28$.
   • Adultes / Thé : $40 - 18 = 22$.
   • Total Adultes : $28 + 22 = 50$ (ou $100 - 50 = 50$).

   Tableau complété :

   	Café	Thé	Total
   Jeunes	$32$	$18$	$50$
   Adultes	$28$	$22$	$50$
   Total	$60$	$40$	$100$

   Vérification : $28+22 = 50$ et $32+28 = 60$. Tout est cohérent.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On dispose d'une liste d'individus caractérisés par deux variables : la couleur des yeux (Bleu / Marron) et le port de lunettes (Oui / Non). On veut sélectionner (filtrer) certains individus.

   1. Décrire l'ensemble des individus vérifiant : « yeux Bleus ET lunettes Oui ».
   2. Décrire l'ensemble : « yeux Bleus OU lunettes Oui ».
   3. Décrire l'ensemble : « NON (lunettes Oui) », c'est-à-dire le complémentaire.
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   « ET » : les deux conditions à la fois (intersection). « OU » : au moins une des deux conditions (réunion). « NON » : tous ceux qui ne vérifient pas la condition.

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   1. « Bleus ET lunettes » : les individus qui ont à la fois les yeux bleus et des lunettes. C'est une case du tableau croisé (intersection).
   2. « Bleus OU lunettes » : les individus qui ont les yeux bleus, ou qui portent des lunettes, ou les deux. On réunit deux catégories sans compter deux fois ceux qui vérifient les deux.
   3. « NON lunettes » : tous les individus qui ne portent pas de lunettes, quelle que soit la couleur des yeux (c'est le total de la colonne « lunettes : Non »).
5. 5

   Fréquences dans un tableau croisé

   Moyen

   Une enquête auprès de $200$ personnes croise le mode de transport principal et le lieu de résidence :

   	Voiture	Vélo	Transports en commun	Total
   Urbain	$40$	$50$	$60$	$150$
   Rural	$35$	$10$	$5$	$50$
   Total	$75$	$60$	$65$	$200$

   1. Calculer la fréquence marginale des personnes vivant en zone urbaine.
   2. Parmi les personnes vivant en zone urbaine, quelle est la fréquence de celles qui utilisent le vélo ?
   3. Parmi les personnes qui utilisent le vélo, quelle est la fréquence de celles qui vivent en zone urbaine ?
   4. Comparer les résultats des questions 2 et 3 et interpréter.
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   Bien identifier l'ensemble de référence de chaque fréquence conditionnelle : « parmi les urbains » (dénominateur $150$) puis « parmi les cyclistes » (dénominateur $60$).

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6. 6

   Construction d'un tableau croisé

   Moyen

   Un magasin a reçu $250$ clients. On sait que :

   • $60\,\%$ des clients sont des femmes ;
   • parmi les femmes, $40\,\%$ ont choisi l'offre A (les autres l'offre B) ;
   • parmi les hommes, $70\,\%$ ont choisi l'offre A.

   Dresser le tableau croisé complet des effectifs (Sexe $\times$ Offre), puis donner la fréquence marginale de l'offre A.

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   Calculer d'abord les effectifs de femmes et d'hommes, puis appliquer les fréquences conditionnelles à chaque sous-groupe pour obtenir les effectifs des cases.

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7. 7

   Algorithme de comptage croisé

   Moyen

   On dispose d'un fichier de $n$ individus. Pour chaque individu $i$, on connaît sa catégorie socioprofessionnelle csp[i] (valeur « Cadre » ou « Employé ») et son avis avis[i] (« Favorable » ou « Défavorable »). On veut construire un tableau croisé.

   1. Écrire un algorithme (en pseudo-code) qui compte le nombre d'individus qui sont « Cadre ET Favorable ».
   2. Expliquer comment obtenir ensuite la fréquence conditionnelle : proportion de « Favorable » parmi les « Cadre ».
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   Parcourir tous les individus avec une boucle et un compteur. Le filtre « ET » impose de tester les deux conditions simultanément avec un et.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On teste $1000$ personnes pour une maladie. Le tableau croise l'état réel et le résultat du test :

   	Test positif	Test négatif	Total
   Malade	$45$	$5$	$50$
   Sain	$95$	$855$	$950$
   Total	$140$	$860$	$1000$

   1. Parmi les malades, quelle est la fréquence des tests positifs ?
   2. Parmi les personnes ayant un test positif, quelle est la fréquence des malades ?
   3. Ces deux fréquences sont très différentes : commenter (phénomène des « faux positifs »).
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Dans un club de $120$ membres, on croise le type de pratique (Compétition / Loisir) et la licence (A / B). On sait que :

   • $90$ membres font de la compétition ;
   • parmi les compétiteurs, $\frac{1}{3}$ ont une licence B ;
   • parmi les membres « loisir », $80\,\%$ ont une licence A.

   1. Dresser le tableau croisé complet des effectifs.
   2. Parmi les membres ayant une licence B, quelle est la fréquence des compétiteurs ?
   3. Comparer avec la fréquence des licences B parmi les compétiteurs. Que remarque-t-on ?
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