Chapitres de Première

Automatismes

1
Exercice 1
Facile
Un article coûte $80$ euros. Son prix subit une hausse de $15\,\%$ .
1. Calculer le prix après la hausse.
2. Ce nouveau prix subit ensuite une baisse de $15\,\%$ . Calculer le prix final.
3. Le prix final est-il égal au prix de départ ? Justifier.
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Une hausse de $15\,\%$ correspond au coefficient multiplicateur $1{,}15$ , une baisse de $15\,\%$ au coefficient $0{,}85$ . Multiplie successivement.
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1. Une hausse de $15\,\%$ correspond au coefficient multiplicateur $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$ .
$80 \times 1{,}15 = 92.$
Le prix après la hausse est de $92$ euros.

2. Une baisse de $15\,\%$ correspond au coefficient multiplicateur $1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85$ .
$92 \times 0{,}85 = 78{,}2.$
Le prix final est de $78{,}20$ euros.

3. Non, le prix final ( $78{,}20$ euros) n'est pas égal au prix de départ ( $80$ euros). En effet, le coefficient global est
$1{,}15 \times 0{,}85 = 0{,}9775 \neq 1,$
ce qui correspond à une baisse globale de $2{,}25\,\%$ . Appliquer une hausse puis une baisse de même pourcentage ne ramène pas au prix initial.
2
Exercice 2
Facile
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes.
1. $(x-3)(2x+1) = 0$ .
2. Étudier le signe de $-2x + 6$ .
3. Étudier le signe de $(x-3)(2x+1)$ à l'aide d'un tableau de signes.
Voir un indice
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Pour le signe d'une expression du premier degré $ax+b$ , cherche sa racine $-\tfrac{b}{a}$ et rappelle-toi que le signe est celui de $a$ après la racine.
Voir la correction
1. $(x-3)(2x+1) = 0$ équivaut à $x-3 = 0$ ou $2x+1 = 0$ , c'est-à-dire $x = 3$ ou $x = -\dfrac{1}{2}$ . L'ensemble des solutions est $S = \left\{ -\dfrac{1}{2}\,;\, 3 \right\}$ .

2. $-2x+6 = 0$ pour $x = 3$ . Comme le coefficient de $x$ est $-2 < 0$ , l'expression est positive avant $3$ et négative après :
$-2x+6 > 0 \text{ pour } x < 3, \qquad -2x+6 < 0 \text{ pour } x > 3.$
3. On a $x-3 = 0$ en $x=3$ et $2x+1=0$ en $x=-\dfrac{1}{2}$ .
$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -\tfrac{1}{2} & & 3 & & +\infty \\ \hline x-3 & & - & & - & 0 & + & \\ 2x+1 & & - & 0 & + & & + & \\ \hline produit & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \end{array}$
Le produit est positif sur $\left]-\infty\,;\,-\tfrac{1}{2}\right[ \cup \left]3\,;\,+\infty\right[$ et négatif sur $\left]-\tfrac{1}{2}\,;\,3\right[$ .
3
Exercice 3
Facile
On considère la fonction affine $f$ définie par $f(x) = 2x - 3$ .
1. Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite représentant $f$ .
2. Tracer cette droite dans un repère.
3. Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'équation $f(x) = 1$ .
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Dans $f(x)=ax+b$ , $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine. Pour tracer, place deux points, par exemple $x=0$ et $x=2$ .
Voir la correction
1. $f(x) = 2x - 3$ est de la forme $ax+b$ avec $a = 2$ (coefficient directeur) et $b = -3$ (ordonnée à l'origine).

2. La droite passe par le point $(0\,;\,-3)$ . Comme le coefficient directeur vaut $2$ , quand $x$ augmente de $1$ , $y$ augmente de $2$ : elle passe donc aussi par $(1\,;\,-1)$ et $(2\,;\,1)$ . On relie ces points.

3. Par le calcul : $f(x) = 1 \Leftrightarrow 2x - 3 = 1 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$ . Graphiquement, on lit l'abscisse du point de la droite d'ordonnée $1$ : on retrouve $x = 2$ . La solution est $x = 2$ .
4
Exercice 4
Facile
Voici la série des notes obtenues par $9$ élèves à un devoir :
$8 \quad 12 \quad 15 \quad 9 \quad 14 \quad 11 \quad 6 \quad 13 \quad 12.$
1. Calculer la moyenne de cette série.
2. Déterminer la médiane, le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$ .
3. Calculer l'étendue.
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Range d'abord les notes dans l'ordre croissant. La médiane d'une série de $9$ valeurs est la $5^{\text{e}}$ valeur. Pour $Q_1$ , calcule $\tfrac{9}{4} = 2{,}25$ et prends la $3^{\text{e}}$ valeur ; pour $Q_3$ , $\tfrac{3\times 9}{4} = 6{,}75$ , prends la $7^{\text{e}}$ valeur.
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1. La somme des notes est
$8+12+15+9+14+11+6+13+12 = 100.$
La moyenne est $\overline{x} = \dfrac{100}{9} \approx 11{,}1$ .

2. Série rangée dans l'ordre croissant :
$6 \quad 8 \quad 9 \quad 11 \quad 12 \quad 12 \quad 13 \quad 14 \quad 15.$
Il y a $9$ valeurs, la médiane est la $5^{\text{e}}$ : $\text{Me} = 12$ .

Pour $Q_1$ : $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$ , on arrondit au rang supérieur, soit le $3^{\text{e}}$ : $Q_1 = 9$ .

Pour $Q_3$ : $\dfrac{3 \times 9}{4} = 6{,}75$ , on arrondit au rang supérieur, soit le $7^{\text{e}}$ : $Q_3 = 13$ .

3. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
$15 - 6 = 9.$
5
Taux d'évolution successifs
Moyen
Le nombre d'abonnés d'une plateforme en ligne était de $12\,500$ en 2022. Il est passé à $15\,000$ en 2023.
1. Calculer le taux d'évolution du nombre d'abonnés entre 2022 et 2023, en pourcentage.
2. En supposant que ce même taux se reproduit chaque année, quel serait le nombre d'abonnés en 2024 puis en 2025 ?
3. Déterminer le taux d'évolution global entre 2022 et 2025, en pourcentage.
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Le taux d'évolution est $t = \dfrac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$ . Pour plusieurs évolutions successives, multiplie les coefficients multiplicateurs.
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6
Tableau croisé et probabilités
Moyen
Dans un lycée de $500$ élèves, on interroge les élèves sur la pratique d'un sport. On obtient le tableau croisé d'effectifs suivant :
$\begin{array}{l|ccc} & Pratique un sport & Ne pratique pas & Total \\ \hline Filles & 180 & 70 & 250 \\ Garçons & 200 & 50 & 250 \\ \hline Total & 380 & 120 & 500 \\ \end{array}$
On choisit un élève au hasard. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $S$ l'événement « l'élève pratique un sport ».
1. Calculer $P(F)$ et $P(S)$ .
2. Calculer $P(F \cap S)$ .
3. Calculer $P_F(S)$ et interpréter ce résultat.
4. Calculer $P_S(F)$ .
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$P(F \cap S)$ compte les filles qui pratiquent un sport parmi tous les élèves. Pour $P_F(S)$ , on se restreint aux filles : $P_F(S) = \dfrac{P(F \cap S)}{P(F)}$ . Attention à ne pas confondre $P_F(S)$ et $P_S(F)$ .
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7
Développer, factoriser, étudier le signe
Moyen
On considère l'expression $A(x) = (2x - 1)^2 - (2x-1)(x+4)$ .
1. Développer et réduire $A(x)$ .
2. Factoriser $A(x)$ .
3. Résoudre l'équation $A(x) = 0$ .
4. Étudier le signe de $A(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
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Pour factoriser, repère le facteur commun $(2x-1)$ avant de développer. Pour le signe d'une expression factorisée, dresse un tableau de signes.
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8
Exercice 8
Difficile
Un capital placé rapporte des intérêts composés. On sait qu'après une première année, le capital a augmenté de $8\,\%$ , et qu'après une deuxième année, il a diminué de $8\,\%$ .
1. Déterminer le taux d'évolution global sur les deux ans, en pourcentage arrondi à $0{,}01\,\%$ .
2. On souhaite qu'après ces deux évolutions le capital soit finalement inchangé. De quel pourcentage $t$ (arrondi à $0{,}01\,\%$ ) faudrait-il augmenter la deuxième année, la première étant toujours une hausse de $8\,\%$ ? (On cherche le taux réciproque de la hausse de $8\,\%$ .)
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9
Exercice 9
Difficile
Une usine possède deux machines A et B qui produisent des pièces. La machine A produit $60\,\%$ des pièces, la machine B en produit $40\,\%$ . Parmi les pièces de A, $3\,\%$ sont défectueuses ; parmi celles de B, $5\,\%$ sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard dans la production totale. On note $A$ (resp. $B$ ) l'événement « la pièce vient de la machine A (resp. B) » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer $P(A \cap D)$ et $P(B \cap D)$ .
3. En déduire $P(D)$ , la probabilité qu'une pièce prélevée soit défectueuse.
4. Une pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine B (c'est-à-dire $P_D(B)$ ). Arrondir à $0{,}001$ .
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Automatismes

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

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Taux d'évolution successifs

Tableau croisé et probabilités

Développer, factoriser, étudier le signe

Exercice 8

Exercice 9