Vocabulaire ensembliste et logique

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère l'ensemble $E = \{-3\,;\,-1\,;\,0\,;\,2\,;\,5\,;\,7\}$ ainsi que les parties $A = \{-3\,;\,0\,;\,2\}$ et $B = \{0\,;\,2\,;\,5\,;\,7\}$.

   1. Compléter par le symbole $\in$ ou $\notin$ : $\quad 2 \ \ldots\ A$, $\qquad -1 \ \ldots\ A$, $\qquad 5 \ \ldots\ B$.
   2. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous-ensembles (parties) de $A$ : $\{0\}$, $\{0\,;\,5\}$, $\emptyset$, $\{-3\,;\,2\}$ ? Justifier avec le symbole $\subset$.
   3. Déterminer $A \cap B$, $A \cup B$ et le complémentaire $\overline{A} = E \setminus A$.
   Voir un indice

   Un élément appartient ($\in$) à un ensemble ; un ensemble est inclus ($\subset$) dans un autre si tous ses éléments appartiennent au second. L'intersection $A\cap B$ contient les éléments communs, la réunion $A\cup B$ tous les éléments de l'un ou de l'autre. Le complémentaire de $A$ dans $E$ contient les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.

   Voir la correction

   1. $2 \in A$ (il figure dans la liste des éléments de $A$) ; $\ -1 \notin A$ ; $\ 5 \in B$.
   2. $\{0\} \subset A$ car son seul élément $0$ appartient à $A$. $\{0\,;\,5\} \not\subset A$ car $5 \notin A$. $\emptyset \subset A$ (l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble). $\{-3\,;\,2\} \subset A$ car $-3 \in A$ et $2 \in A$.
   3. $A \cap B = \{0\,;\,2\}$ (éléments communs). $\ A \cup B = \{-3\,;\,0\,;\,2\,;\,5\,;\,7\}$. $\ \overline{A} = E \setminus A = \{-1\,;\,5\,;\,7\}$ (les éléments de $E$ absents de $A$).
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On travaille dans $\mathbb{R}$. On pose $I = [-2\,;\,4[$ et $J = \,]1\,;\,6]$.

   1. Représenter $I$ et $J$ sur une droite graduée.
   2. Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$, et les écrire sous forme d'intervalle.
   3. Déterminer $\overline{J} = \mathbb{R} \setminus J$.
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   Pour l'intersection, on cherche les réels appartenant aux deux intervalles à la fois ; pour la réunion, ceux appartenant à au moins l'un des deux. Attention aux crochets ouverts (borne exclue) et fermés (borne incluse). Le complémentaire d'un intervalle dans $\mathbb{R}$ est en général une réunion de deux intervalles.

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   1. $I = [-2\,;\,4[$ va de $-2$ (inclus) à $4$ (exclu) ; $J = \,]1\,;\,6]$ va de $1$ (exclu) à $6$ (inclus).
   2. Un réel est dans $I \cap J$ s'il vérifie $-2 \le x < 4$ et $1 < x \le 6$, c'est-à-dire $1 < x < 4$ : donc $I \cap J = \,]1\,;\,4[$. Pour la réunion, on couvre de $-2$ (inclus) à $6$ (inclus) sans trou : $I \cup J = [-2\,;\,6]$.
   3. $\overline{J} = \mathbb{R} \setminus \,]1\,;\,6] = \,]{-\infty}\,;\,1] \ \cup \ ]6\,;\,{+\infty}[$. La borne $1$ est incluse (car $1 \notin J$) et $6$ est exclue (car $6 \in J$).
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Pour chacune des propositions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis écrire sa négation.

   1. $P$ : « $3$ est un nombre pair et $5$ est un nombre premier. »
   2. $Q$ : « $\sqrt{2}$ est un entier ou $\pi > 3$. »
   3. $R$ : « $7 \ge 7$. »
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   La négation de « $A$ et $B$ » est « (non $A$) ou (non $B$) » ; la négation de « $A$ ou $B$ » est « (non $A$) et (non $B$) ». La négation de $\ge$ est $<$. Une proposition « et » est vraie seulement si les deux morceaux le sont ; une proposition « ou » est vraie dès qu'au moins un morceau l'est.

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   1. $P$ est fausse : $3$ n'est pas pair (le premier morceau est faux, donc le « et » est faux). Négation : « $3$ n'est pas pair ou $5$ n'est pas premier. » Cette négation est vraie.
   2. $Q$ est vraie : $\sqrt 2$ n'est pas entier, mais $\pi > 3$ est vrai, donc le « ou » est vrai. Négation : « $\sqrt 2$ n'est pas un entier et $\pi \le 3$. » Cette négation est fausse.
   3. $R$ est vraie. Négation : « $7 < 7$ », qui est fausse.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On note $D$ l'ensemble des multiples de $3$ compris entre $1$ et $20$, et $T$ l'ensemble des multiples de $4$ compris entre $1$ et $20$.

   1. Écrire $D$ et $T$ en extension (liste de leurs éléments).
   2. Déterminer $D \cap T$. Que représentent ses éléments ?
   3. Traduire par une phrase la proposition « $x \in D \cap T$ » à l'aide de « et ».
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   Lister d'abord soigneusement les multiples de chaque nombre. L'appartenance à l'intersection se traduit toujours par une conjonction (« et ») : $x \in D \cap T$ signifie $x \in D$ et $x \in T$.

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   1. $D = \{3\,;\,6\,;\,9\,;\,12\,;\,15\,;\,18\}$ et $T = \{4\,;\,8\,;\,12\,;\,16\,;\,20\}$.
   2. $D \cap T = \{12\}$. Son unique élément est le seul nombre entre $1$ et $20$ qui est à la fois multiple de $3$ et de $4$, c'est-à-dire multiple de $12$.
   3. « $x \in D \cap T$ » signifie : « $x$ est un multiple de $3$ et $x$ est un multiple de $4$ » (avec $1 \le x \le 20$).
5. 5

   Implication, réciproque et équivalence

   Moyen

   Soit $x$ un nombre réel. On considère les propositions :

   $$P : \ \text{« } x = 3 \text{ »} \qquad \text{et} \qquad Q : \ \text{« } x^2 = 9 \text{ ».}$$

   1. Écrire l'implication $P \Rightarrow Q$ et démontrer qu'elle est vraie.
   2. Écrire la réciproque $Q \Rightarrow P$. Est-elle vraie ? Justifier.
   3. A-t-on l'équivalence $P \Leftrightarrow Q$ ? Sinon, corriger $P$ pour obtenir une équivalence.
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   L'implication $P \Rightarrow Q$ se lit « si $P$ alors $Q$ ». Pour la réciproque, on échange hypothèse et conclusion. Une équivalence $P \Leftrightarrow Q$ signifie que les deux implications sont vraies simultanément. Pour réfuter une implication, un seul contre-exemple suffit.

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6. 6

   Réfuter par contre-exemple

   Moyen

   Réfuter chacune des affirmations suivantes en donnant un contre-exemple, puis, si possible, énoncer une correction rendant l'affirmation vraie.

   1. « Pour tout réel $x$, on a $x^2 \ge x$. »
   2. « Pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^2 + n + 41$ est un nombre premier. »
   3. « Si un réel vérifie $x^2 > 4$, alors $x > 2$. »
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   Pour montrer qu'une proposition « pour tout $x$, … » est fausse, il suffit d'exhiber une seule valeur qui la met en défaut. Tester des valeurs bien choisies : nombres entre $0$ et $1$, valeurs particulières de $n$, nombres négatifs.

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7. 7

   Lois de De Morgan

   Moyen

   Soit $E$ un ensemble et $A$, $B$ deux parties de $E$. On admet les lois de De Morgan :

   $$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \qquad \text{et} \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$

   1. Dans $E = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$, avec $A = \{1\,;\,2\,;\,3\}$ et $B = \{3\,;\,4\}$, vérifier sur cet exemple la première loi de De Morgan.
   2. Expliquer avec des mots pourquoi « ne pas être dans $A \cup B$ » revient à « n'être ni dans $A$, ni dans $B$ ».
   3. En déduire la négation de la proposition : « $x \in A$ ou $x \in B$ ».
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   Calculer séparément le membre de gauche et le membre de droite, puis comparer. Les lois de De Morgan sur les ensembles sont la traduction ensembliste des règles de négation de « et » / « ou » : appartenir à un complémentaire, c'est ne pas appartenir à l'ensemble.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On rappelle que le symbole $\forall$ se lit « pour tout » et $\exists$ « il existe ». On considère les propositions portant sur les réels :

   $$P : \ \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 1 > 0 \qquad \text{et} \qquad Q : \ \exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 = 2.$$

   1. Traduire $P$ et $Q$ en français courant, et déterminer si chacune est vraie ou fausse.
   2. Écrire la négation de $P$ et la négation de $Q$ (on rappelle que nier un « pour tout » donne un « il existe », et réciproquement).
   3. La proposition $R : \ \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \ge x$ est fausse. Écrire sa négation sous forme quantifiée et la justifier.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Dans une classe de $30$ élèves, $18$ étudient l'espagnol, $15$ étudient l'allemand, et $7$ étudient les deux langues. On note $E$ l'ensemble des élèves étudiant l'espagnol et $A$ ceux étudiant l'allemand. On admet la formule d'inclusion-exclusion : pour deux ensembles finis,

   $$\operatorname{card}(E \cup A) = \operatorname{card}(E) + \operatorname{card}(A) - \operatorname{card}(E \cap A).$$

   1. Interpréter en français les nombres $\operatorname{card}(E) = 18$, $\operatorname{card}(A) = 15$ et $\operatorname{card}(E \cap A) = 7$.
   2. Combien d'élèves étudient au moins l'une des deux langues ?
   3. En déduire combien d'élèves n'étudient aucune de ces deux langues.
   4. Combien d'élèves étudient l'espagnol mais pas l'allemand ?
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