Algorithmique et programmation

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$,

   $$u_{n+1} = 0{,}8\, u_n.$$

   On souhaite déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 0{,}01$. Voici une fonction Python incomplète censée renvoyer cet entier. Recopier et compléter les trois zones marquées ..... .

   def seuil():
       u = 5
       n = 0
       while u ..... 0.01:        # (1) condition d'arret
           u = ..... * u          # (2) mise a jour du terme
           n = ..... + 1          # (3) mise a jour du compteur
       return n
   

   Voir un indice

   La boucle doit continuer tant que le terme n'est pas encore passé sous le seuil $0{,}01$. À chaque tour, on calcule le terme suivant et on augmente le compteur de $1$.

   Voir la correction

   La suite est décroissante et tend vers $0$ : il existe donc bien un rang à partir duquel $u_n < 0{,}01$. On arrête la boucle dès que la condition $u \geq 0{,}01$ devient fausse, donc la condition de continuation est u >= 0.01. La complétion est :

   def seuil():
       u = 5
       n = 0
       while u >= 0.01:
           u = 0.8 * u
           n = n + 1
       return n
   

   Comme $u_n = 5 \times 0{,}8^{\,n}$, résoudre $5 \times 0{,}8^{\,n} < 0{,}01$ revient à $0{,}8^{\,n} < 0{,}002$, soit

   $$n > \frac{\ln(0{,}002)}{\ln(0{,}8)} \approx 27{,}85.$$

   Le plus petit entier convenable est donc $n = 28$. On vérifie : $u_{27} \approx 0{,}0121 \geq 0{,}01$ et $u_{28} \approx 0{,}0097 < 0{,}01$. La fonction renvoie bien 28.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On donne le script Python suivant.

   u = 0
   for n in range(4):
       u = 0.5 * u + 2
       print(u)
   

   1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant la valeur de u affichée à chaque passage dans la boucle.
   2. Quelle suite $(u_n)$ ce script calcule-t-il ? Préciser $u_0$ et la relation de récurrence.

   \medskip

   Tour de boucle	1	2	3	4
   Valeur affichée	…	…	…	…

   Voir un indice

   Suivre la boucle pas à pas : à chaque tour, on remplace u par 0.5 * u + 2 en utilisant la valeur précédente de u. La valeur initiale est $0$.

   Voir la correction

   On part de u = 0 puis on applique la transformation à chaque tour.

   • Tour 1 : $u = 0{,}5 \times 0 + 2 = 2$, on affiche $2$.
   • Tour 2 : $u = 0{,}5 \times 2 + 2 = 3$, on affiche $3$.
   • Tour 3 : $u = 0{,}5 \times 3 + 2 = 3{,}5$, on affiche $3{,}5$.
   • Tour 4 : $u = 0{,}5 \times 3{,}5 + 2 = 3{,}75$, on affiche $3{,}75$.

   Tour de boucle	1	2	3	4
   Valeur affichée	$2$	$3$	$3{,}5$	$3{,}75$

   Le script calcule les termes $u_1, u_2, u_3, u_4$ de la suite définie par

   $$u_0 = 0 \qquad \text{et} \qquad u_{n+1} = 0{,}5\, u_n + 2.$$

   (Cette suite converge vers le point fixe $\ell = 4$, ce que confirment les valeurs qui s'en rapprochent.)

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On rappelle que le coefficient binomial $\displaystyle \binom{n}{k}$ se calcule par

   $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$

   1. Écrire une fonction Python factorielle(n) qui, pour un entier $n \geq 0$, renvoie $n!$ (on rappelle que $0! = 1$).
   2. En réutilisant cette fonction, écrire une fonction binomial(n, k) qui renvoie $\binom{n}{k}$.
   3. Que renvoie binomial(5, 2) ?
   Voir un indice

   Pour la factorielle, initialiser un produit à $1$ puis le multiplier successivement par $1, 2, \dots, n$. Pour le coefficient binomial, appeler trois fois la fonction précédente et utiliser la division entière // (le résultat est un entier).

   Voir la correction

   On adopte une démarche modulaire : la fonction binomial s'appuie sur factorielle.

   def factorielle(n):
       p = 1
       for k in range(1, n + 1):
           p = p * k
       return p
   
   def binomial(n, k):
       return factorielle(n) // (factorielle(k) * factorielle(n - k))
   

   Pour $n = 0$, la boucle range(1, 1) est vide et factorielle(0) renvoie bien $1$.

   Enfin :

   $$`binomial(5, 2)` = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10.$$

   La fonction renvoie 10.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On veut approcher l'aire sous la courbe de la fonction $f : x \mapsto x^2$ sur l'intervalle $[0\,;1]$ par la méthode des rectangles à gauche. On découpe $[0\,;1]$ en $n$ intervalles de même largeur $h$ et on somme les aires des rectangles s'appuyant sur la valeur de $f$ au bord gauche de chaque sous-intervalle.

   1. Recopier et compléter la fonction ci-dessous (zones .....).

   def f(x):
       return x**2
   
   def rectangles(n):
       a = 0
       b = 1
       h = ..... / n              # (1) largeur d'un rectangle
       S = 0
       for k in range(n):
           x = a + k * h
           S = S + ..... * h      # (2) aire d'un rectangle
       return S
   

   1. Calculer « à la main » la valeur renvoyée par rectangles(4).
   Voir un indice

   La largeur commune vaut $h = \dfrac{b-a}{n}$. L'aire d'un rectangle est (hauteur $\times$ largeur) $= f(x) \times h$. Pour $n=4$, les bords gauches sont $0\,;\ 0{,}25\,;\ 0{,}5\,;\ 0{,}75$.

   Voir la correction

   La largeur d'un rectangle est $h = \dfrac{b-a}{n} = \dfrac{1-0}{n}$, et chaque rectangle a pour aire $f(x)\times h$. D'où :

   def rectangles(n):
       a = 0
       b = 1
       h = (b - a) / n
       S = 0
       for k in range(n):
           x = a + k * h
           S = S + f(x) * h
       return S
   

   Pour $n = 4$ : $h = 0{,}25$ et les abscisses gauches sont $0\,;\ 0{,}25\,;\ 0{,}5\,;\ 0{,}75$.

   $$S = 0{,}25 \times \bigl(f(0) + f(0{,}25) + f(0{,}5) + f(0{,}75)\bigr) = 0{,}25 \times (0 + 0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625).$$ $$S = 0{,}25 \times 0{,}875 = 0{,}21875.$$

   rectangles(4) renvoie $0{,}21875$. La valeur exacte de l'intégrale étant $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$, l'approximation par rectangles à gauche est ici sous-estimée (la fonction est croissante).

5. 5

   Suite récurrente d'un capital épargne

   Moyen

   Le 1er janvier 2026, une personne ouvre un compte épargne avec $1000$ €. Chaque année, la banque augmente le capital de $3\,\%$ (intérêts), puis la personne verse $200$ € supplémentaires. On note $C_n$ le capital, en euros, disponible au bout de $n$ années. Ainsi $C_0 = 1000$ et, pour tout $n$,

   $$C_{n+1} = 1{,}03\, C_n + 200.$$

   1. Écrire une fonction Python duree() qui renvoie le nombre d'années nécessaires pour que le capital atteigne (au moins) $5000$ €.
   2. Déterminer, en justifiant, la valeur renvoyée par cette fonction.
   Voir un indice

   On simule les termes de la suite un par un dans une boucle while qui tourne tant que le capital est strictement inférieur à $5000$, en comptant les années écoulées.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

6. 6

   Méthode de dichotomie en Python

   Moyen

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 1$. On admet que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$, et que $\alpha \in [0\,;1]$ car $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$.

   1. Effectuer « à la main » les trois premières étapes de la méthode de dichotomie sur $[0\,;1]$ : préciser à chaque fois le milieu, le signe de $f$ en ce milieu, et le nouvel intervalle retenu.
   2. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous, qui renvoie une valeur approchée de $\alpha$ à la précision e près.

   def f(x):
       return x**3 + x - 1
   
   def dichotomie(a, b, e):
       while b - a > e:
           m = (a + b) / 2
           if f(a) * f(m) <= 0:
               b = .....          # la racine est dans [a, m]
           else:
               a = .....          # la racine est dans [m, b]
       return (a + b) / 2
   

   Voir un indice

   À chaque étape, on coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié aux bornes de laquelle $f$ change de signe. Si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires (produit $\leq 0$), la racine est dans $[a\,;m]$, donc on remplace $b$ par $m$.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

7. 7

   Méthode d'Euler pour une équation différentielle

   Moyen

   On cherche à approcher la fonction $y$ solution de l'équation différentielle

   $$y' = y, \qquad y(0) = 1$$

   sur l'intervalle $[0\,;1]$ (dont la solution exacte est $y(x) = \mathrm{e}^x$). On utilise la méthode d'Euler avec $n$ pas de même longueur $h = \dfrac{1}{n}$ : à partir de $y_0 = 1$, on calcule

   $$y_{k+1} = y_k + h\,\times\, y'(x_k) = y_k + h\, y_k.$$

   1. Écrire une fonction Python euler(n) qui renvoie l'approximation de $y(1)$ obtenue avec $n$ pas.
   2. Calculer « à la main » la valeur renvoyée par euler(4) et la comparer à $\mathrm{e} \approx 2{,}718$.
   Voir un indice

   Ici $y' = y$, donc la mise à jour est $y \leftarrow y + h\,y$. On répète cette opération $n$ fois en partant de $y_0 = 1$. Pour $n = 4$, $h = 0{,}25$ et $y \leftarrow 1{,}25\, y$ à chaque pas.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On veut comparer deux méthodes d'approximation de $\displaystyle I = \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}$ : la méthode des rectangles à gauche et la méthode des trapèzes. Pour la méthode des trapèzes avec $n$ sous-intervalles de largeur $h = \dfrac{b-a}{n}$, on utilise la formule

   $$T_n = h\left(\frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f(a + k h)\right).$$

   1. Écrire une fonction Python trapezes(f, a, b, n) qui renvoie $T_n$.
   2. Pour $f : x \mapsto x^2$, calculer $T_4$ sur $[0\,;1]$ et comparer l'erreur commise à celle de la méthode des rectangles à gauche (qui donne $0{,}21875$ pour $n=4$).
   3. Expliquer géométriquement pourquoi la méthode des trapèzes est plus précise.
   Voir un indice

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On estime le nombre $\pi$ par une méthode de Monte-Carlo. On tire au hasard un point $(x\,;y)$ dans le carré $[0\,;1] \times [0\,;1]$. La probabilité qu'il tombe dans le quart de disque de centre $O$ et de rayon $1$ (c'est-à-dire que $x^2 + y^2 \leq 1$) est égale à l'aire de ce quart de disque, soit $\dfrac{\pi}{4}$.

   1. En notant $p$ la proportion de points tombés dans le quart de disque sur $N$ tirages, expliquer pourquoi $4p$ est une estimation de $\pi$.
   2. Écrire une fonction Python monte_carlo(N) qui renvoie cette estimation. On utilisera random() du module random, qui renvoie un flottant aléatoire dans $[0\,;1[$.
   3. Selon la loi des grands nombres, que se passe-t-il quand $N$ devient très grand ? Pourquoi faut-il multiplier $N$ par $100$ pour gagner environ un chiffre significatif ?
   Voir un indice

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité