Bac maths 2025 — Centres étrangers jour 2

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.

Au 1$^{\text{er}}$ janvier 2025, on introduit $6\,000$ individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0{,}93$.

Pour tout entier naturel $n,\: u_n$ représente la population au 1$^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au 1$^{\text{er}}$ janvier 2026.

2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

   Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_n)$ définie par

$v_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = -0{,}05v_n^2 +1{,}1v_n$.

Pour tout entier naturel $n, v_n$ représente la population au 1$^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en millier d'individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au 1$^{\text{er}}$ janvier 2026.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par

$$f(x) = -0{,}05x^2 + 1{,}1x.$$

2. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 11].

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a

   $$2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6.$$

4. En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.

5. 1. Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.
   2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

1. En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à $3\,000$ individus.

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à $3\,000$ individus.

3. Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

4. On considère le programme Python ci-contre.

   1. Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
   2. Déterminer l'année affichée après exécution du programme.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

$$f(x) = \dfrac{1}{a+ \text{e}^{-bx}}$$

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous :

On considère les points A(0 ; 0,5) et B(10 ; 1).

On admet que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.

2. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$.

   Donner une interprétation graphique de ce résultat.

3. Justifier que $a = 1$.

4. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).

5. 1. Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.
   2. En déduire la valeur de $b$.

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

$$f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0{,}2x}}$$

1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

3. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0{,}97$.

4. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs.

   Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Partie C

1. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$,  $f(x) = \dfrac{\text{e}^{0{,}2x}}{1 + \text{e}^{0{,}2x}}$.

2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

3. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 40], c'est-à-dire:

   $$I = \dfrac{1}{40}\displaystyle\int_0^{40} \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0{,}2x}}\,\text{d}x.$$

   On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, « gP3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte: les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.

1. Déterminer le nombre de séquences possibles.
2. Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.
3. 1. Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule
   2. En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
   3. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
   4. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. On note X la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

1. On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
3. Que pensez-vous de l'affirmation suivante: « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_1,\: X_2,\: X_3$  et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.

On admet que les variables aléatoires $X_1,\: X_2,\: X_3$  et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B.

On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4.$

Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.

On se place dans un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ de l'espace.

On considère les points A(1 ; 0 ; 3), B$( -2~;~1~;~2)$ et C(0 ; 3 ; 2).

1. 1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

   2. Soit $\overrightarrow{\,\mathstrut n\,}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}$Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{\,\mathstrut n\,}$ est orthogonal au plan (ABC).

   3. En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

      $-x + y + 4z - 11 = 0$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x - 3y + 2z - 9 = 0$ et le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - y- z + 2 = 0$.

2. 1. Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.
   2. Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.

3. Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{\,\mathstrut u\,}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$.

4. Montrer que le point M(2 ; 1 ; 3) appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

5. Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan (ABC).

   Que peut-on dire des trois plans (ABC), $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?