Bac maths 2024 — Centres étrangers Suède jour 1

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : Soit (E) l'équation différentielle : $y'- 2 y= - 6 x + 1$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\mathrm{\,e\,}^{2 x}-6 x + 1$ est une solution de l'équation différentielle ( E ).

Affirmation 2 : On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par

$$u_{n}=1 + \dfrac{3}{4} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2} + \cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}$$

La suite $\left(u_{n}\right)$ a pour limite $+ \infty$.

Affirmation 3 : On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie dans l'affirmation 2.

L'instruction suite(50) ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

Affirmation 4 : Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur ]0; $+ \infty[$ par :

$$f(x) = a \ln (x) - 2x.$$

Soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

II existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $C$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

Au cours d'une séance, un joueur de volley-ball s'entraîne à faire des services. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à 0,85.

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées:

• si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant est égale à 0,6;
• si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est égale à 0,6.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_{n}$ l'évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\overline{R_{n}}$ l'évènement contraire.

Partie A

On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Démontrer que la probabilité de l'évènement $R_{2}$ est égale à 0,57.

3. Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu'il ait raté le premier.

4. Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.

   1. Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l'arbre pondéré de la question 1).

   2. Calculer l'espérance mathématique $\mathrm{E}(Z)$ de la variable aléatoire $Z$.

      Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On s'intéresse maintenant au cas général.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_{n}$ la probabilité de l'évènement $R_{n}$.

1. 1. Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_{n}}(R_{n + 1})$ et $P_{\overline{R_{n}}}(\overline{R_{n + 1}})$.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n + 1}= 0{,}2x_{n} + 0{,}4$.

2. Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n}=x_{n}-0{,}5$.

   1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique.
   2. Déterminer l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$.
   3. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un d'une marque A et l'autre d'une marque B.

Les parties $1$ et $2$ sont indépendantes.

Partie 1 : appareil de la marque A

À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de la marque $A$.

On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer.

Par lecture graphique :

1. Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l'intérieur du foyer.

2. Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l'intérieur du foyer dépasse $300$ ° C.

3. On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.

   Estimer la valeur de $\displaystyle\dfrac{1}{600} \int_{0}^{600} f(t) \mathrm{\,d} t$. Interpréter le résultat.

Partie 2 : étude d'une fonction

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

$$g(t) = 10 t \mathrm{\,e\,}^{-0{,}01 t} + 20.$$

1. Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
2. 1. Montrer que pour tout $t \in [0~;~+ \infty[,\quad g'(t)=(-0{,}1 t + 10) \mathrm{\,e\,}^{- 0{,}01 t}$.
   2. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+ \infty[$ et construire son tableau de variations.
3. Démontrer que l'équation $g(t) = 300$ admet exactement deux solutions distinctes sur [$0~;~+ \infty[$. En donner des valeurs approchées à l'unité.
4. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle \int_{0}^{600} g(t) \:\text{d}t$.

Partie 3 : évaluation

Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer $t$ minutes après l'allumage est modélisée sur $[0~;~600]$ par la fonction $g$.

L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :

• Critère 1 : la température maximale est supérieure à $320~$° C.
• Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.
• Critère 3 : la température moyenne durant les 10 premières heures après l'allumage dépasse $250$ ° C.
• Critère 4 : la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300$ ° C pendant plus de 5 heures.

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.

On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :

• on se place dans un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, une unité représentant un mètre;
• l'avion n$^{\text{o}}$ 1 doit relier le point O au point $\mathrm{A}(0~;~200~;~0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de $200\,\text{m}/\text{s}$;
• l'avion n$^{\text{o}}$ 2 doit, quant à lui, relier le point $\mathrm{B}(-33~;~75~;~44)$ au point $\mathrm{C}(87~;~75~;~-116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de $200\,\text{m}/\text{s}$.
• au même instant, l'avion n° 1 est au point O et l'avion n° 2 est au point B.

1. Justifier que l'avion n° 2 mettra autant de temps à parcourir le segment [BC] que l'avion n° 1 à parcourir le segment [OA].
2. Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
3. Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?