Bac maths 2024 — Amérique du Nord jour 2

Les données publiées le 1$^{\text{er}}$ mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

• $22{,}86\,\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
• $8{,}08\,\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;
• $1{,}27\,\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.

On note :

• $N$ l'évènement « le véhicule est neuf »;
• $R$ l'évènement « le véhicule est hybride rechargeable »;
• $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0{,}0283$.
4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.

Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0{,}65$.

On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
3. Déterminer la probabilité $p(X \geq 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0{,}65$.

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1. Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
2. On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant 0{,}9999$.

On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB $= 3$ et AD = AE $= 1$ représenté ci-dessous.

On considère le point I du segment [AB] tel que $\overrightarrow{\,\mathstrut\text{AB}\,}= 3 \overrightarrow{\,\mathstrut\text{AI}\,}$ et on appelle $M$ le milieu du segment [CD].

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\,\mathstrut\text{AI}\,}, \overrightarrow{\,\mathstrut\text{AD}\,}, \overrightarrow{\,\mathstrut\text{AE}\,}\right)$.

1. Sans justifier, donner les coordonnées des points F, H et M.

2. 1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\,\mathstrut n\,}\begin{pmatrix}2\\6\\ 3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (HMF).

   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est :

      $$2x + 6y + 3z - 9 = 0.$$

   3. Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).

4. On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF).

   Déterminer les coordonnées du point N.

5. Le point R de coordonnées $\left(3~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par

$$g(x) = 2x - x^{2}.$$

1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{lcl}u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right)\end{array}\right.$ pour tout entier naturel $n$.

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_{n} < u_{n+1}< 1$.
3. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
4. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(1 - u_{n}\right)$.

1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
2. En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
3. En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
4. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse 0,95.

Soit $a$ un réel strictement positif.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par

$$f(x) = a \ln (x).$$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit $x_{0}$ un réel strictement supérieur à 1.

1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
2. Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) =a [x \ln (x) - x]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
3. En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $a$ et de $x_{0}$.

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_{0}$.

On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

1. Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_{0}$) que l'on déterminera.

   Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.