Bac maths 2023 — Polynésie jour 2

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que

• $\bullet~~$ si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90\,\%$ des cas le jour suivant ;
• $\bullet~~$ si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70\,\%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$ :

• $\bullet~~$ $R_n$ l'évènement : « L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
• $\bullet~~$ $p_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$. On considère que $p_0 = 0{,}6$.

1. Soit $n$ un entier naturel, recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

2. Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :

   $$p_{n+1} = 0{,}6p_n + 0{,}3.$$

3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0{,}75$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

   2. Démontrer que, pour tout entier $n$ naturel $n$ :

      $$p_n = 0{,}75 - 0{,}15 \times 0{,}6^n.$$

   3. En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.

   4. Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.

Partie B

Apres de nombreuses séances d'entraînement, l'entraineur estime maintenant que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0{,}75$ et ce indépendamment d'avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un $400$ mètres haies qui comporte $10$ haies,

1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
2. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l'athlète franchisse les $10$ haies.
3. Calculer $p(X \geqslant 9)$, à $10^{-3}$ près,

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère :

• $\bullet~~$ le point A$(1~;~-1~;~-1)$ ;

• $\bullet~~$ le plan $\mathcal{P}_1$, d'équation : $5x +2y + 4z= 17$ ;

• $\bullet~~$ le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation : $10x+ 14y + 3z = 19$;

• $\bullet~~$ la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique :

  $$\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 1+2t\\ y &=& - t\\ z&=&3-2t \end{array}\right. \quad \text{où } \:t \:\text{décrit } \mathbb{R}.$$

1. Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.

2. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

3. 1. Vérifier que A n'appartient pas à $\mathcal{P}_1$.
   2. Justifier que A n'appartient pas à $\mathcal{D}$.

4. Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1 +2t~;~-t~;~3 - 2t)$.

   On considère alors la fonction $f$ qui à tout réel $t$ associe A$M^2$, soit $f(t) = \text{A}M^2$.

   1. Démontrer que pour tout réel $t$, on a: $f(t) = 9t^2 - 18t + 17$.
   2. Démontrer que la distance AM est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3~;~-1~;~1)$.

5. On note H le point de coordonnées $(3~;~-1~;~1)$.

   Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

Le plan est ramené à un repère orthogonal.

On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.

1. Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse 4.
3. Donner avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$.

Partie B

Soit un réel $k$ strictement positif.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$g(x) = \dfrac{4}{1 + \text{e}^{- kx}}.$$

1. Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$,

2. Prouver que $g'(0) = k$.

3. En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.

   | 2{|l|}{$\triangleright$ Calcul formel} | | | --- | --- | | | g(x) =4/(1 + e^(-kx)) | | 1 | | | | $\to g(x) = \dfrac{4}{\text{e}^{-kx} + 1}$ | | | Simplifier$(g''(x))$ | | 2 | | | | $\to g''(x) = - 4\text{e}^{kx}\left(\text{e}^{kx} - 1\right)\dfrac{k^2}{\left(\text{e}^{kx} + 1 \right)^3}$ |

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point :

1. Affirmation : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}$ est bornée.

2. Affirmation : Toute suite bornée est convergente.

3. Affirmation : Toute suite croissante tend vers $+\infty$.

4. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 2x + 2\right)$.

   Affirmation : La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-3~;~1]$.

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

   On rappelle que len(L) renvoie la longueur, c'est-à-dire le nombre d'éléments de la liste L.

   def mystere(L) :
   M = L[0]
   # On initialise M avec le premier élément de la listeL
   for i in range(len(L)) :
   if L[i] > M :
   M = L[i]
   return M

   Affirmation : L'exécution de mystere( [2, 3, 7,0 ,6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.