Bac maths 2023 — Amérique du Sud jour 1

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $]0~;~+ \infty[$ par

$$f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln (x).$$

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée

1. Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2[1 - 2\ln (x)]$, justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
2. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,   $f'(x) = - 4x\ln (x)$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
4. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ et que $\alpha \in [1~;~\text{e}]$.

On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0 ; 1].

5. On donne la fonction ci-dessous écrit en Python. L'instruction from lycee import * permet d'accéder à la fonction ln.

   from lycee import *
   def f(x) :
            return 1 + x**2 - 2*x**2*ln(x)
   def dichotomie(p)
            a=1
            b=2.7
            while b - a > 10**(-p) :
            {tabular}{|l}
        if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :
   
        | b = (a+b)/2
   
        else :
   
        | a = (a+b)/2
   
   {tabular}
             return (a,b)
   

   Il écrit dans la console d'exécution :

   $>>>$ dichotomie(1)

   Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l'instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).

   $$\begin{array}{ll} Proposition A :&(1.75, 1.9031250000000002)\\ Proposition B :&(1.85, 1.9031250000000002)\\ Proposition C :&(2.75, 2.9031250000000002)\\ Proposition D :&(2.85, 2.9031250000000002)\\ \end{array}$$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, par

$$g(x) = \dfrac{\ln (x)}{1 + x^2}.$$

On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,   $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$.
2. Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$

On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.

3. On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $\alpha$.

   Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d'intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.

1. Entre 1998 et 2020, en France $18\,221\,965$ accouchements ont été recensés, parmi lesquels $293\,898$ ont donné naissance à des jumeaux et $4\,921$ ont donné naissance à au moins trois enfants.

   1. Avec une précision de 0,1 % calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d'accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
   2. Vérifier que le pourcentage d'accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1 %.

On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l'exercice qu'un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d'un accouchement ordinaire est égale à $0{,}984$ et celle d'un accouchement double est alors égale à $0{,}016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

2. On admet qu'un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.

   On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.

   On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'accouchements doubles pratiqués ce jour.

   1. Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double.

   2. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}99$.

      Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

3. Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu'il y a 30 % de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70 % de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

   Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à $0{,}49$ et que celle d'être un garçon à la naissance est égale à $0{,}51$.

   Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

   On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

   • $\bullet~~$ $M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
   • $\bullet~~$ $F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
   • $\bullet~~$ $F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».

   On notera $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

1. Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessus.
2. Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est $0{,}31507$.
3. Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu'elles soient monozygotes.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points

A(0 ; 4 ; 16), B$(0~;~4~;~- 10)$, C$(4~;~-8~;~0)$ et K(0 ; 4 ; 3).

On définit la sphère $S$ de centre K et de rayon 13 comme l'ensemble des points M tels que KM $= 13$.

1. 1. Vérifier que le point C appartient à la sphère $S$
   2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.
2. 1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\,\mathstrut n\,}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
   2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

3. On admet que la sphère $S$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative.

   On note D celui qui a une abscisse positive.

   1. Montrer que le point D a pour coordonnées (12 ; 0 ; 0).
   2. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).
   3. Déterminer la distance du point D au plan (ABC).

4. Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD.

   On rappelle la formule du volume V d'un tétraèdre

   $$V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h.$$

   où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.

Partie A

Le but de la partie A est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0{,}3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1} = 2u_n\left(1 - u_n\right).$$

Cette relation de récurrence s'écrit $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$, où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = 2x\left (1 - x\right ).$$

1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$.

2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$.

   Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1}$.

3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

4. Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac12$.

Partie B

Le but de cette partie est d'étudier un modèle d'évolution d'une population.

En 2022, cette population compte $3\,000$ individus.

On note $P_n$ l'effectif en milliers de la population l'année $2022 + n$. Ainsi $P_0 = 3$.

Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX$^{\text{e}}$ siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :

$P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - b \times P_n\right)$, où $b$ est un réel strictement positif.

Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

1. Dans cette question $b = 0$.

   1. Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   2. Déterminer la limite de $P_n$.

2. Dans cette question $b = 0{,}2$.

   1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0{,}1 \times P_n$.

      Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n\left(1 - v_n \right)$.

   2. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d'une valeur que l'on précisera.