Bac maths 2021 — Amérique du Nord mai

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.

Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants:

• $\bullet~~$ si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0{,}98$ (sensibilité du test) ;
• $\bullet~~$ si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0{,}995$ (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d'athlétisme.

On note $D$ l'évènement « l'athlète est dopé » et $T$ l'évènement « le test est positif ».

On admet que la probabilité de l'évènement $D$ est égale à $0{,}08$.

1. Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2. Démontrer que $P(T) = 0{,}083$.

3. 1. Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?

   2. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l'évènement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0{,}95$.

      Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est $0{,}103$.

1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler $5$ athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.

   On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les $5$ athlètes contrôlés.

   1. Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
   2. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   3. Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?

2. Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'évènement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0{,}75$ ? Justifier.

Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.

Au début de l'année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.

Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$$\left\{\begin{array}{lcl} u_0 &= &0{,}6\\ u_{n+1} &= &0{,}75 u_n\left(1 - 0{,}15 u_n\right) \end{array}\right.$$

où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année $2020 + n$.

1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par

$$f(x) = 0{,}75x (1 - 0{,}15x).$$

2. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations.
3. Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation $f(x) = x$.

On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

4. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,  $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$.
   2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   3. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.

5. Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.

   1. Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.

   2. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous:

      def menace() :
           u = 0,6
           n = 0
           while u > 0,02 :
           u = 0,75*u*(1-0,15*u)
           n = n+1
           return n
      

      Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace().

      Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Commun à tous les candidats

Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\,\mathstrut\text{AB}\,},~ \overrightarrow{\,\mathstrut\text{AD}\,},~ \overrightarrow{\,\mathstrut\text{AE}\,}\right)$.

2. 1. Donner les coordonnées des points I et J.
   2. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{\,\mathstrut\text{IJ}\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\text{AE}\,}$ et $\overrightarrow{\,\mathstrut\text{AC}\,}$ sont coplanaires.

On considère le plan $\mathcal P$ d'équation $x + 3y - 2z + 2 = 0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous:

$$d_1 : \left\{\begin{array}{lcl} x &=&3 + t\\ y &=& 8 - 2t\\ z &=& - 2 + 3t\\ \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad d_2 : \left\{\begin{array}{lcl} x &=&4 + t\\ y &=&1 + t\\ z &=&8 + 2t\\ \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}.$$

3. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
4. Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.
5. Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 ; 1) sur le plan $\mathcal P$.

Exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels $a$ et $b$,  $\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a} + \text{e}^{2b}$.

Affirmation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = - 2 + (3 - x)\text{e}^x$ admet pour équation réduite $y = 2x + 1$.

Affirmation 3 : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + \dfrac{3}{x}\right) = 0$.

Affirmation 4 : L'équation $1 - x + \text{e}^{-x} = 0$ admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2].

Affirmation 5 : La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 - 5x + \text{e}^x$ est convexe.

Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$, deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale $T$ au point A(1 ; 4).

1. Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:

$$f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x} \,\, \text{où }\, a \text{ et}\, b \text{ sont deux nombres réels}.$$

2. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

   $$f'(x) = \dfrac{b - a - b\, \ln x}{x^2}.$$

3. En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:

$$f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.$$

4. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.

5. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.

6. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

   $$f''(x) = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.$$

7. Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède un unique point d'inflexion B dont on précisera les coordonnées.